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19 Luglio 2017 21:26
E' morta Maryam Mirzakhani, iraniana e nata nel 1977, è stata la prima donna ad aver ricevuto la medaglia Fields nel 2014 per i suoi studi sulle geometrie complesse. Nel 2004 aveva ottenuto un Phd ad Harvard e poi aveva iniziato ad insegnare a Stanford. Frances Kirwan, membro del comitato di selezione del premio ‘Field’ per l’università di Oxford, aveva commentato così l'assegnazione alla Mirzakhani:
Spero che questo premio ispiri molte giovani donne e ragazze in questo paese e nel mondo a credere nelle loro abilità e a puntare a diventare le prossime medaglie Fields del futuro.
La geometria complessa è più o meno una cosa del genere
http://www.dima.unige.it/~arezzo/MDGeo/App9-CenniGeomCompl.pdf
Una volta introdotti i numeri complessi, nulla vieta di considerare la retta, il piano, lo spazio complessi, e cioè i numeri, le coppie ordinate di numeri, le terne ordinate di numeri complessi, invece che reali. Rette e piani saranno ancora rappresentabili mediante equazioni polinomiali di primo grado, ma questa volta con coefficienti complessi, coniche e quadriche avranno ancora equazioni di secondo grado con coefficienti complessi, e così via.
Che cosa ci si guadagna ? Ad esempio, nel piano reale una retta e una parabola possono avere 0, 1 o 2 punti di intersezione, a seconda che la retta sia esterna, tangente o secante alla parabola. Nel piano complesso, invece, grazie al corollario di Ruffini al teorema fondamentale dell’Algebra, i punti di intersezione sono sempre due. E così due coniche si intersecano sempre in quattro punti, e così via. Bisogna naturalmente considerare la molteplicità di ciascun punto di intersezione.
Un’altra estensione possibile è quella che include i punti impropri. Si parla allora di retta proiettiva complessa, di piano proiettivo complesso, di spazio proiettivo complesso. Il metodo delle coordinate e delle equazioni basato sulle coordinate omogenee si estende senza difficoltà al caso complesso.
Osserviamo che per la natura stessa delle coordinate omogenee, un punto reale non ha necessariamente coordinate omogenee reali, ma ha anche coordinate omogenee reali, come mostra l’esempio (1, 1, 1) = (i, i, i) = (1 + i, 1 + i, 1 + i). In particolare, un se un punto ha tutte e tre le coordinate omogenee immaginarie pure, il punto è reale. Osserviamo ancora che anche nel caso complesso le circonferenze passano tutte per i punti impropri (1, ±i, 0) (che hanno anche le coordinate (±i, 1, 0)), che per questa ragione si chiamano punti ciclici.E quindi tutto procede come prima, con qualche vantaggio algebrico in più e qualche perdita sul piano dell’intuizione e delle rappresentazioni grafiche; basta pensare al fatto che ogni punto del piano complesso `e una coppia di numeri complessi e quindi una quaterna di numeri reali.
......
La domanda è sempre la solita: ma a che serve? La posso usare su instagram o su una app dell'iphone?
Ci sono voluti mille ed ottocento anni prima che gli studi sulle sezioni coniche di Apollonio di Perga servissero a qualcuno, per la cronaca un tale Keplero ed un tale Galileo, purtroppo oggi non siamo più usi a pensare che qualcosa sarà utile solo fra mille anni e non subito.
https://web.math.unifi.it/archimede/note_storia/Belle-Napolitani-Coniche.pdf
Forse fra qualche secolo la geometria complessa di Maryam aprirà la strada ai viaggi iperspaziali, in fondo la gravità curva lo spazio in modo (quasi) imprevedibile e magari un iperboloide a più falde, complesso e multidimensionale servirà a ... boh!
Che la terra le sia lieve!
20 Luglio 2017 13:15
E se le geometrie complesse avessero qualche applicazione già oggi?
Se tali applicazioni avessero forti implicazioni militari e la studiosa le avesse intuite?
Sarebbe forse il caso di farla sparire insieme alle sue ricerche più avanzate e poi celebrarla come un genio sfortunato?
Chiaramente sono solo fantasie.
20 Luglio 2017 13:30
E se le geometrie complesse avessero qualche applicazione già oggi?
Se tali applicazioni avessero forti implicazioni militari e la studiosa le avesse intuite?
Sarebbe forse il caso di farla sparire insieme alle sue ricerche più avanzate e poi celebrarla come un genio sfortunato?
Chiaramente sono solo fantasie.
Che dobbiamo pensare di questo gratuito complottone della geometria complessa?
20 Luglio 2017 18:28
Le geometrie complesse (ipercomplesse) sono usatissime nei computer.
Ma non solo, pure nella fisica teorica che studia le particelle elementari.
Per chi fosse interessato conviene fare una ricerca col tema "geometric algebra".
L'idea di passare dai reali ai complessi formando delle coppie di numeri,
venne gia' estesa nel 1800, costruendo dapprima i quaternioni, che vanno benissimo per descrivere le rotazioni nello spazio 3-dimensionale, mandando a spasso i complicatissimi e talvolta pericolosissimi angoli di Eulero.
Lo stesso identico ragionamento della formazione di coppie venne esteso dai quaternioni agli ottonioni, i quali, guarda un po', sbucan fuori ad ogni pie' sospinto nella matematica che descrive il cosiddetto modello standard della fisica delle particelle, e pure nella congettura delle stringhe.
Siccome tutte queste belle cose hanno una struttura algebrica, parecchi si sono inoltrati in campi inesplorati, ridefinendo la fisica su basi geometrico-algebriche, lavoro tutt'ora in corso ma molto promettente. Cercare il lavori di Matti Pitkäenen, per farsi un'idea. E' solo uno dai tanti che si sono occupati di queste cose.
L'importante e' riconoscere che tutto ebbe origine da elucubrazini matematiche che risalgono ai Greci ed in era piu' moderna perlomeno al 1800. Quando i computer non esistevano. E' l'eterno mistero della matematica: in realta' non si sa come mai descriva cosi' bene cose tanto complesse, soprattutto nel mondo fisico. Gia' Galileo se ne meravigliava. Ai giorni nostri Roger Penrose e' piu' o meno sulla stessa linea di pensiero, riferendosi all'uso imprescindibile dei numeri complessi nella meccanica quantistica.
Per avere uno sguardo storico d'assieme sui matematici e fisici piu' conosciuti, conviene dare un'occhiatina al sito dell'universita' di St. Andrews, in Scozia.
Dovrebbe esserci anche la biografia della matematica citata qui sopra.
Detto cio', l'errore che si puo' commettere facilmente e' d'illudersi che tutto sia descrivibile matematicamente. Nient'affatto: tutti i fenomeni detti paranormali sfuggono per lo piu' ad una descrizione matematica. Non parliamo poi delle cose "spirituali".
20 Luglio 2017 18:36
grand imbarazz:
nel sito che raccoglie le biografie delle donne matematiche, la Mirzakhani non c'e' (ancora). Forse aspettano che uno/una muoia prima!
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Indexes/Women.html
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21 Luglio 2017 14:55
... E' l'eterno mistero della matematica: in realta' non si sa come mai descriva cosi' bene cose tanto complesse, soprattutto nel mondo fisico. Gia' Galileo se ne meravigliava. Ai giorni nostri Roger Penrose e' piu' o meno sulla stessa linea di pensiero, riferendosi all'uso imprescindibile dei numeri complessi nella meccanica quantistica...
Seguendo lo spinoff del post, in fondo descrivere la realtà con la matematica non è concettualmente diverso dal descrivere un tramonto con le parole, purchè il narratore sia davvero bravo ed il lettore non sia cieco dalla nascita: serve avere un lessico sufficientemente condiviso. Il linguaggio matematico è appunto un linguaggio e le notazioni usate hanno (quasi) la stessa funzione dei simboli (ideogrammatici, sillabici o solo fonetici) dei vari linguaggi scritti. Tutti, se usati con discernimento, descrivono la realtà anche se alcuni linguaggi possono descrivere anche cose non reali o prodotti della fantasia umana, come divinità di ogni sorta, demoni assortiti, spiriti degli antenati ed altre amenità (qualcuno potrebbe argomentare che se sono in grado di pensare qualcosa, allora quel qualcosa è anche reale, ma qui il percorso si fa viscido).
Che l'uomo della strada, che a malapena sa leggere e comprendere un giornale, si meravigli di quanto accuratamente la matematica possa descrivere la realtà è normale, lo è meno che se ne meravigli Roger Penrose, ma lui è sempre stato sempre un pò burlone oltre che genio indiscusso.
L'importante è non confondere la rappresentazione notazionale della realtà con la realtà vera : della prima si sa quasi tutto, della seconda praticamente nulla.
21 Luglio 2017 15:37
Faccio presente che la descrizione scientifica della realtà fisica si basa in gran parte sui numeri complessi. Lo stato di un sistema fisico oppure la sua funzione d'onda (le due descrizioni sono equivalenti) sono grandezze complesse. Uno si potrebbe chiedere come si può misurare una grandezza complessa? Non si può. Infatti quello che è misurabile è il modulo quadro dello stato, che è sempre reale.
Anche le trasformazioni come le rotazioni di un vettore in un piano o nello spazio si possono descrivere con numeri ( o matrici) complesse. Ad esempio il gruppo delle rotazioni di un vettore nel piano : SO(2) (S=> determinante =1, O = matrici ortogonali, 2 il numero delle dimensioni) può benissimo essere descritto con il gruppo U(1) dei numeri complessi nella circonferenza unitaria. La corrispondenza è 1 1. Uno si può chiedere cosa ci si guadagna, in due dimensioni non molto ma quando si estende a tre dimensioni compaiono proprietà che erano assenti quando si andava a studiare le trasformazioni dei vettori, primo tra tutte lo spin. Lo spin insieme alla massa è la proprietà fondamentale di una particella perchè determina il comportamento collettivo di tutte le particelle simili.
Quindi, mentre nella Fisica classica e la matematica da liceo i numeri complessi sono giudicati come una curiosità, quando si approfondisce lo studio diventano indispensabili. Senza di loro è impossibile descrivere il reale, anche se questo potrebbe sembrare un paradosso linguistico.
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21 Luglio 2017 15:56
.... mentre nella Fisica classica e la matematica da liceo i numeri complessi sono giudicati come una curiosità, quando si approfondisce lo studio diventano indispensabili. Senza di loro è impossibile descrivere il reale, anche se questo potrebbe sembrare un paradosso linguistico.
Condivido ogni singola parola e copio tutto il post per usi futuri.
Aggiungo solo che anche in fisica classica (quindi non quantistica nè relativistica) i numeri complessi sono indispensabili per maneggiare il campo elettromagnetico, per non parlare della teoria della comunicazione con le trasformate di fourier e laplace e della progettazione dei motori e dei generatori elettrici. Affrontare questi (tutto sommato semplici) ambiti senza i numeri complessi è una follia.
Senza i numeri complessi niente più radio, televisione, internet, adsl, mp3, luce elettrica in casa, automobili elettriche.....
21 Luglio 2017 17:34
La faccenda che la matematica sia un linguaggio non andrebbe mai persa di vista. Ormai un linguaggio talmente complesso e iperspecializzato che ben pochi lo dominano interamente. Però, se necessario possono farselo spiegare.
Il linguaggio descrive qualcosa: puo' descrivere se stesso, uno stato d'animo, un'idea, un paesaggio, un'opera d'arte, la natura, l'universo mondo (anche quello onirico). La matematica va meglio in certi ambiti che in altri.
Ma mai si dovrebbe confondere la descrizione di qualcosa col qualcosa.
Anche se la descrizione e' precisissima, non e' detto che il qualcosa sia veramente come lo indica la descrizione.
Esempio didattico: il gioco delle torri di Hanoi e' essnzialmente costituito da 3 pioli cilindrici in cui sono inseriti dei dischi concentrici, dal piu' piccolo al piu' grande andando verso il basso.
Ebben la soluzione piu' elegante di spostare tutti i dischi da un piolo all'altro non sovrapponendo mai un disco grande ad uno piccolo passa per la descrizione di tutta la faccenda come un ipercubo binario a N dimensioni (N e' il numero di dischi). Evidentemente nulla del congegno reale ha la pur minima apparenza di qualcosa di cubico. Eppure la descrizione ipercubica e' la piu' elegante, la piu' svelta e la meno richiedente risorse di calcolo.
La descrizione ipercubica (che non corrisponde a cio' che l'occhio vede) permette di ottenere una soluzione perfetta senza grande sforzo. Ma la descrizione non e' per niente la realta'. Solo concettualmente ne rispecchia le proprieta'.
21 Luglio 2017 18:29
A proposito di ipercubo, sicuramente conoscerete lo splendido quadro di Salvador Dali detto : Corpus Hypercubus :
https://www.google.it/search?q=dali+hypercube&rls=com.microsoft&spf=1500654276067
È lo svolgimento in 3 dimensioni di un cubo quadridimensionale. Per dettagli vedere : https://it.wikipedia.org/wiki/Corpus_Hypercubus
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22 Luglio 2017 13:55
Restando nel tema della matematica prestata all'arte ed alla letteratura suggerisco il racconto breve del 1940 di Robert A. Heinlein (notissimo autore di fantascienza) La casa nuova ( ...And He Built a Crooked House), pubblicato da Urania e da altri editori in varie antologie
Un architetto di los angeles costruisce per un ricco amico una casa a forma di tesseratto aperto, ovvero un cubo quadridimensionale. Costruita la casa, formata da quattro cubi sovrapposti con il il terzo cubo circondato da altri quattro cubi, la mostra all'amico con la consorte. Arriva però la solita scossa di terremoto e la casa si trasforma in un solo cubo: il tesseratto era collassato in tre dimensioni. L'architetto non si perde d'animo ed insiste sul fatto che la casa è comunque grande come richiesto: basta entrare e vederne l'interno. I tre entrano nel tesseratto, che all'interno è ovviamente rimasto espanso, ed inizia l'avventura con situazioni imprevedibili ma matematicamente rigorose
Lo trovate nel numero 589 (Antologia Scolastica) del 1972 ed ristampato nel numero 1456 di Urania del 2003, un'antologia di racconti di Heinlein dal titolo Anonima Stregoni.
