sezione aurea e spazio-tempo

Pi greco, tutti sanno cos'e', una famosa costante matematica, utile a calcolare cose che hanno a che fare col cerchio: area, perimetro, ma anche cose che hanno a che fare con le onde.

e. dovrebbe essere una costante matematica familiare a quelli della finanza

Pi greco ed e appaiono nell'equazione di Eulero, uno dei tre grandi Leonardi (da Vinci, Pisano detto il Fibonacci e appunto Euler, italianizzato in Eulero):

e^(-i*Pi) = -1

precisamente -1, un numero intero semplice semplice.
i e' il numero immaginario, il cui quadrato da' -1.

La grande bellezza dell'equazione di Eulero sta nel fatto che combinando 3 numeri strani (due irrazionali, uno immaginario) produce un numero intero tondo tondo, senza virgola e senza fronzoli.

Phi, chi e' costei?
Diciamo che e' la gemella siamese di Phim.

Bene allora Phi e Phim che fanno?
Sono le due soluzioni di una famosa equazione, quella della sezione aurea, che afferma:

X^2 = X + 1

Questa e' la proprieta' essenziale della sezione aurea: il suo quadrato equivale ad incrementarla di 1. Carina come proprieta', nevvero? Molto interessante per un computer. Ma anche per chi usa solo carta e matita. Per esempio gli architetti d'antan.

Essendo l'equazione della sezione aurea di secondo grado, ha due soluzioni, appunto le suddette Phi e Phim. La forma dell'equazione permette di dedurre direttamente parecchie cosine interessanti. Per esempio:

Phi + Phim = 1
Phi * Phim = -1

in modo preciso, precisissimo. Che c'e' di strano? Beh, il fatto che sia Phi che Phim sono numeri irrazionali, cioe' non riducibili a frazioni. Quindi il fatto che una certa loro manipolazione conduca a dei numeri interi e' di per se' interessante.

Va bene, questa cosa l'abbiamo appena vista sopra nell'equazione di Eulero, c'e' altro?
Ehm, yes sir. C'e' molto altro.
Prenda un foglietto, una matita e si metta a fare calcoli algebrici, moltiplicando man mano l'equazione della sezione aurea per X e poi semplificandone i termini a destra del segno =, facendo uso anche della sezione aurea stessa.
Vedra' che le appariranno sotto gli occhi dei numeri interi un po' strani. Strana e' la loro sequenza d'apparizione. Chiamiamoli F(n) e L(n).
Ecco la loro proprieta' che risulta dal foglietto coi calcoli algebrici con carta e matita:

F(n) = F(n-1) + F(n-2), dove F(1) = 1, F(0) = 0
L(n) = L(n-1) + L(n-2), dove L(1) = 1, L(0) = 2

Ehy, ma li conosco! Gli F(n) sono i numeri di Fibonacci!

Bravo, Leonardo Pisano detto Fibonacci li escogito' nel 1200 per quantificare la riproduzione (teorica) dei conigli. I suoi lavori vennero successivamente pubblicizzati da un matematico medievale (Luca Pacioli), contemporaneo di Leonardo da Vinci, nel libro "De divina proportione". Proporzione divina che oggi chiamiamo sezione aurea. Nel "divina proportione" il ritratto di Luca Pacioli e' attribuito a Leonardo da Vinci. Interessante questo intreccio di Leonardi.

Gli L(n), gemelli siamesi degli F(n) sono chiamati numeri di Lucas, un matematico francese, famoso per aver diffuso il gioco detto delle torri di Hanoi.

Gli architetti hanno da sempre apprezzato la sezione aurea, tant'e' che molte costruzioni manifestano proporzioni in accordo con essa.

Ma l'architetto per eccellenza che ne ha fatto, e ne fa uso, e' la natura.
Ritroviamo la sezione aurea nella filotassi, nella disposizione dei semi di girasole sul fiore, nella conchiglia del nautilus, ecc. ecc.

Il bello viene adesso.
Due studiosi sudafricani propongono una loro teoria, e cioe' che lo spazio-tempo sia costituito come una spirale del nautilus, con cicli che aumentano secondo le proporzioni dettate dalla sezione aurea.
Per cui, secondo loro sia il tempo che lo spazio hanno un ciclicita' intrinseca non costante, ma proporzionale alla sezione aurea. Proprio come la conchiglia del nautilus.

La loro pubblicazione e' scaricabile qui, in inglese, in formato PDF:
http://www.sajs.co.za/sites/default/files/publications/pdf/Boeyens_SciCo.pdf

-- NB --
Ci sono delle equazioni molto belle, anche loro stan li' a dimostrare che si possono combinare in modo elegante dei numeri irrazionali per ottenere dei semplici interi. Sono le famose equazioni di Binet (matematico francese pure lui) per calcolare direttamente sia i numeri di Fibonacci che quelli di Lucas.

L(n) = Phi^n + Phim^n
F(n) = (Phi^n - Phim^n) / (radice quadrata di 5)

provare per credere!

Pero' attenti che il computer, qualunque esso sia, rappresenta internamente i numeri irrazionali con un piccolissimo errore, che si propaga .. ed ad un certo punto le formule di Binet (sul computer) danno un risultato sbagliato, pur essendo formule esattissime.
Questo serva da lezione a quelli che ritengono i computer infallibili.

-- NB 2 --
I puristi calcolano il valore del numero di Fibonacci F(n) in modo ricorsivo.

Domandina: quante volte un algoritmo basato sulla definizione ricorsiva di F(n) usa se stesso?

Rispostina:
F(n) richiede F(n) + L(n) - 1 appelli ricorsivi per produrre un risultato.

Conclusioncina:
Caro purista, non vai lontano col tuo approccio, nemmeno se hai a disposizione un supercomputer. Per dire, il calcolo di F(8000) richiederebbe un numero di appelli ricorsivi talmente grande che per scriverlo tutto, quel numero li', ci vuole quasi tutto lo schermo.