30 Aprile 2017 12:27
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Molti considerano la matematica materia ostica, senza rendersi conto che ne fanno uso inconsapevolmente, per esempio osservando il mondo, ascoltando e ovviamente contanto (ma anche cantando).
Fare il giro di tutta la matematica e' opera quasi infinita, talmente tante sono le branche e sottobranche di questa disciplina scientifica. Anche i media ci mettono del loro sottacendo notizie in cui la matematica (magari di 2 secoli fa) gioca un ruolo notevole. Mai mi sono imbattuto in trasmissioni televisive di divulgazione scientifica in cui venisse spiegato che ormai tutta la realta' virtuale, e la robotica, perfino la visione artificiale, facciano amplissimo uso dei numeri composti ottocenteschi noti come quaternioni. E siamo solo alla teoria dei numeri, se vogliamo pure nel campo dell'algebra, poiche' i quaternioni formano una cosiddetta algebra normata di divisione.
Il bello e' che i quaternioni sono un ottimo pretesto per esemplificare il concetto matematico di isomorfismo: sono dette isomorfe fra loro strutture matematiche diverse che pero' sono organizzate allo stesso modo. infatti i quaternioni si lasciano trattare anche come matrici 4x4, addirittura in due varianti: quelle dette quaternioche e quelle dette antiquaternioniche. Queste ultime a loro volta sono isomorfe con le matrici complesse 2x2 che possiamo chiamare antiquaternioniche complesse. A loro volta vicinissime alle famose matrici di spin di Wolfgang Pauli. Queste sono uguali alle matrici quaternioniche complesse moltiplicate per il numero complesso "i". Embè?
Embè 1: le matrici di spin non formano un'algebra normata di divisione, ciononostante sono utilizzatissime in meccanica quantistica. Pauli se le dovette inventare. Peccato. Se qualche storico della matematica gli avesse ricordato i quaternioni magari si vedrebbe oggi lo spin con occhi meno astrusi. Ma tantè.
Embè 2: Siamo scivolati dai quaternioni originali come concepiti dal banchiere sansimonista Rodrigues, poi riscoperti dal preclaro matematico britannico Hamilton, alle matrici quaternioniche, all'algebra, per pervenire alla fisica teorica. Insomma la matematica e' molto sorprendentemente un linguaggio che si presta molto bene a descrivere concettualmente molte cose reali. Anche infinitamente piccole, come sono le particelle elementari. Guarda te i casi della vita, le algebre normate di divisione sono pochine (isomorfismi a parte): R, C, H, O.
R sta per i numeri reali, C per quelli complessi, H per i quaternioni (da Hamilton, il secondo inventore dei suddetti), O sta per ottonioni. Che sono numeri composti da ben 8 elementi, o se si vuole, da coppie di quaternioni. Cos'è, cosa non è, questi ottonioni sbucano fuori da ogni dove se si comincia a maneggiare il cosiddetto modello standard. Tutte le particelle elementari sembrano disposte secondo una simmetria ottonionica. Madre natura ne sa di matematica, eh!
Le cose non finiscono qui. Le algebre normate di divisione possono venir studiate dal punto di vista delle cosiddette algebre di Clifford, altro esimio matematico ottocentesco, per intenderci un altro che non usava computer elettronici. Dagli e ridagli, alcuni fisici teorici sono riusciti a tirare assieme le idee lungo questi strani sentieri concettuali della matematica ed hanno dato vita ad una branca nota come geometria algebrica. Grazie ad essa meccanica quantistica e relativita' generale si lasciano inquadrare in modo stupefacente, evidenziando equazioni comuni anche se i loro scopritori non ne erano consapevoli. E sto parlando di due tali che si chiamavano Dirac ed Einstein.
Insomma la rivoluzione silenziosa (per la massa, in quanto alla tele su queste cose tacciono) in matematica, dopo la rivoluzione della teoria del caos, dopo quella dei frattali, e' a quanto pare la rivoluzione della geometria algebrica. Degna di nota perche' invoglia alcuni fisici teorici a riscrivere la fisica piu' spinta con nuovi strumenti matematici. Ne sono convinti, per semplificare le cose.
Eh, lo so', l'ho tirata molto per le lunghe per introdurre la serie di 10 DVD "La matematica". Curata dalla rivista "Le Scienze", la matematica viene divulgata dal noto storico della logica matematica Giorgio Odifreddi. I DVD sono allegati settimanalmente a Repubblica, oppure alle Scienze, che pero' esce solo mensilmente.
Odifreddi non e' perfetto. Infatti si dimentica della geometria algebrica.
Si dimentica pure del matematico "moderno" piu' prolifico di tutti i tempi: Leonard Euler, noto come Eulero. La spara piuttosto grossa vendendo il notissimo pediatra e psicologo infantile Jean Piaget come francese, quando si sa che era svizzero. Nato in Svizzera, studiò alle università di Neuchâtel e Zurigo ed operò in quella di Ginevra. Tutte città ubicate in Svizzera e non in Francia, nevvero Odifreddi.
Ma c'e' un altro punto che mi disturba un po' anche se da Odifreddi c'e' da aspettarselo: menzionando la matematica dell'antico Egitto, non una volta che ricordi la dea Maat, colei che diede il nome alla matematica! Vade retro, religione!
Bravo Odifreddi, come divulgatore sei ottimo. Cerca pero' di essere piu' preciso, e possibilmente piu' aggiornato. Studiala la storia della geometria algebrica e, se ce la fai, dedicale un'altra serie di DVD.
😉
E per chi vuole una opinione sul mistero della concordanza tra Fisica e Matematica è d'obbligo leggere l'articolo di Eugene Wigner intitolato :
The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences.
Lo si può trovare qui : https://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html
Pensate ad esempio al ruolo fondamentale dei numeri complessi nella Meccanica Quantistica. Wigner scrive :
Furthermore, the use of complex numbers is in this case not a calculational trick of applied mathematics but comes close to being a necessity in the formulation of the laws of quantum mechanics. Finally, it now begins to appear that not only complex numbers but so-called analytic functions are destined to play a decisive role in the formulation of quantum theory. I am referring to the rapidly developing theory of dispersion relations.
pure Penrose
Anche il noto teorico britannico Penrose sta sulla stessa linea di pensiero.
Su YouTube ci sono diverse sue conferenze, in alcune esprime lo stesso stupore, che gia' fu di Galileo, sul mistero di come mai i numeri complessi si prestino cosi' bene a descrivere certe cose del mondo fisico.
Puntualizzo
Galileo si stupiva di come la matematica in generale fosse un ottimo linguaggio per descrivere i fenomeni naturali. L'analisi complessa era ancora di la' da venire.
...Pensate ad esempio al ruolo fondamentale dei numeri complessi nella Meccanica Quantistica...
Concordo ed aggiungo che senza i numeri complessi non ci sarebbero le trasformate di fourier e quella di laplace e nemmeno la teoria dei segnali: niente adsl, mp3, dvd, tac e tutta la digitalizzazione.
ps. grazie per il link
La presenza essenziale dei numeri complessi nella Meccanica Quantistica non è senza problemi di intuizione immediata. Esempio : l'equazione della funzione d'onda non relativistica (di Schrödinger) ha dalla parte sinistra dell'uguale iħ per la derivata della funzione d'onda rispetto al tempo, dall'altra l'operatore Hamoltoniano per la stessa funzione d'onda. Ora siccome l'operatore Hmiltoniano è reale se anche la funzione d'onda che rappresenta lo stato del sistema fisico fosse reale avremmo un numero immaginario uguale ad un numero reale, una assurdità. D'altra parte lo studente del terzo anno di Fisica, già confuso dalla complementarità tra onda e particella si chiede ovviamente come diavolo è possibile che uno stato fisico, per forza reale, sia rappresentato da una funzione complessa. Una domanda più che legittima. La risposta è che lo stato non è direttamente accessibile alla misura e solo le cose misurabili (gli osservabili) sono reali. Per avere l'osservabile corrispondente bisogna moltiplicare per il complesso coniugato. Allora il prodotto è sicuramente reale e può essere misurato.